科目概览
数量方法是 CFA 一级最先学习、支撑全科的科目。它提供的是贯穿十门课的通用工具：怎么算收益率（权益、固收都要用）、怎么把未来的钱折到今天（所有估值模型的起点）、怎么用样本推断总体（假设检验与回归），以及怎么看风险（波动率、协方差、组合方差）。这些内容学不扎实，后面 固定收益 的久期定价、财务报表分析 的比率解读、权益 的 DDM 估值都会跟着吃力。
2027 年是本科目改版最大的一年：权重从 2026 年的 6–9% 上调至 11–14%，跃升为一级权重最高的科目之一；课程重新组织为 11 个学习模块，围绕真实投资场景展开，估计与模拟（历史模拟、bootstrap、蒙特卡洛）内容扩写并给出 Excel / Google Sheets 落地步骤；组合优化部分扩充，与 Python 基础实践技能模块衔接；新增「金融数据科学导论」模块，覆盖大数据、机器学习与大语言模型（LLM）在投资管理中的应用词汇与概念框架。此外官方配套的 Equation Explorers 交互工具随货币时间价值模块发布，帮助理解变量之间的关系而非死记公式；原有的数量方法先修阅读（prerequisite reading）自 2027 年起取消。
学习策略：(1) 第一个学，预算约 45 小时，其中货币时间价值与收益率度量要练到「看题即列式」的熟练度——这部分在考试里属于送分题，慢就是亏；(2) 统计部分重概念辨析（正态 vs 对数正态、t 分布何时用、第一类/第二类错误），选择题爱考「哪项说法正确」；(3) 计算集中在 TVM、组合方差、置信区间、回归 R²，公式不多但要理解推导；(4) 金融数据科学模块 2027 新增，题目预计偏概念记忆，考前突击性价比高，但日常要积累术语中英对照。
学习模块清单
- 1
金融资产与工具的收益Returns of Financial Assets and Instruments
- 2
金融收益的类型Types of Financial Returns
- 3
收益的基准比较Benchmarking Returns
- 4
金融中的货币时间价值The Time Value of Money in Finance
- 5
资产收益的统计特征Statistical Characteristics of Asset Returns
- 6
金融资产价格与收益的统计分布Statistical Distributions for Financial Asset Prices and Returns
- 7
估计与假设检验Estimation and Hypothesis Testing
- 8
金融组合的收益与风险The Return and Risk of a Financial Portfolio
- 9
金融资产价格与收益的模拟Simulation of Financial Asset Prices and Returns
- 10
一元线性回归在金融中的应用Applications of Simple Linear Regression in Finance
- 11
金融数据科学导论Introduction to Financial Data Science
模块名称以 CFA Institute 2027 Level I 官方课程（2027 curriculum learning modules）为准。
核心内容精讲
一、收益率度量（模块 1–3）
- 持有期收益率（Holding Period Return, HPR）是单期收益率的基本形式：期末价格减期初价格加期间现金流（利息、股利、分红），除以期初价格。多期收益要用几何（复利）平均连接，算术平均只适合估计单期期望收益。
- 复利频率：年、季、月、日复利下有效年利率（Effective Annual Rate, EAR）依次上升；连续复利（continuous compounding）下 FV = PV·e^(r·t)，连续复利率 = ln(1 + EAR)。考试常给出一个报价利率让你换算有效利率或反推。
- 收益类型：要求收益率（required return）= 无风险利率 + 各种溢价；超额收益（excess return）= 资产收益 − 基准（通常无风险利率）；实际收益（real return）≈ 名义收益 − 通胀；总收益与净收益、税前与税后、杠杆收益（放大器，方向双向）各是常考辨析点。
- 基准比较（Benchmarking）：货币加权收益率（Money-Weighted Return, MWR）即内部收益率 IRR，受现金流时点影响；时间加权收益率（Time-Weighted Return, TWR）消除现金流时点影响，是评价基金经理的行业标准。指数方面区分价格指数与全收益指数（含股利再投资）；指数加权方式包括价格加权、等权重、市值加权（cap-weighted）。
货币加权收益率（MWR）就是使投资组合现金流现值之和等于零的贴现率，等同于 IRR，对投资者的申购赎回时点敏感；时间加权收益率（TWR）把持有期按现金流切段、逐段几何链接，剥离了现金流时点的影响。
Money-weighted return is the IRR of the portfolio's cash flows; time-weighted return chains sub-period returns geometrically, removing the effect of cash flow timing.
HPR = (P1 − P0 + CF1) / P0 —— 持有期收益率；P1 期末价、P0 期初价、CF1 期间现金收入（股利/利息）
r连续 = ln(1 + r有效年)；FV = PV · er·t —— 连续复利换算与终值公式
考点：多期平均收益的计算与选用——算术平均高估长期实际财富增长，几何平均（时间加权的多期形式）是复合增长率的正确度量；区分 MWR 与 TWR 适用场景是高频考法。
易错：(1) 把股利遗漏在分子之外；(2) 算多期收益时把各期收益率直接相加（应连乘）；(3) 指数问题里忘记「价格指数不含股利，全收益指数含」。
二、货币时间价值（模块 4）
- TVM 是固定收益与权益估值的共同起点：债券价格是现金流的现值之和，股票价格（DDM）是股利的现值之和。核心只有四个变量——PV、FV、PMT、利率与期数——但现金流时点（期末普通年金 vs 期初年金到期初年金，annuity due）决定乘不乘 (1+r)。
- 永续年金（perpetuity）PV = PMT / r；增长型永续年金（Gordon 模型）PV = D1 / (r − g)，要求 r > g。
- 净现值（NPV）= 未来现金流现值 − 初始投资；内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的贴现率，NPV ≥ 0（或 IRR ≥ 要求收益率）时项目可行。TVM 还用于推算隐含远期利率、远期汇率与期权价值的无套利关系。
货币时间价值指今天的一元比未来的一元更值钱，因为资金可以投资获取回报（机会成本），且未来现金流存在不确定性。一切金融工具的价格都可视为其未来现金流以适当贴现率折现后的现值。
The time value of money (TVM) states that money available today is worth more than the same amount in the future due to its potential earning capacity; the value of any financial instrument equals the present value of its expected future cash flows.
PV = FV / (1 + r)t；PV年金 = PMT · [1 − (1+r)−n] / r —— 单笔现金流现值与普通年金现值；年金到期初（annuity due）再乘 (1+r)
PV增长永续 = CF1 / (r − g) —— Gordon 增长模型；r 为要求收益率，g 为永续增长率，需 r > g
考点：现金流时点判断（期末还是期初）、增长永续的成立条件、用 TVM 比较两个投资方案或计算贷款的每期还款额。
易错：年金到期初忘记乘 (1+r)；增长永续公式误用 CF0 而非 CF1；计息频率不一致时先换算每期利率（名义年利率 ÷ 每年复利次数）。
三、描述统计：资产收益的统计特征（模块 5）
- 集中趋势：均值（mean）受极端值影响；中位数（median）抗极端值；众数（mode）用于分类数据。金融收益通常均值≈中位数，但跳跃/尾部事件多时均值被拉偏。
- 离散程度：极差、平均绝对偏差、方差（variance）与标准差（standard deviation，波动率）；样本方差除以 n−1（无偏估计）。变异系数 CV = 标准差 / 均值，用于量纲不同或均值差异大时比较单位收益的风险。
- 分布形状：偏度（skewness）衡量不对称——负偏（左偏）意味着左尾更长、大跌概率更高；峰度（kurtosis）衡量尾部厚度，超额峰度以正态分布（=3，超额=0）为基准，尖峰肥尾（leptokurtic）意味着极端事件概率高于正态假设。
- 实际资产收益的典型特征：微弱正偏或负偏、高峰度（肥尾），因此不能盲目套正态假设——这也是后面模拟与风险度量的出发点。
偏度刻画分布的不对称方向；峰度刻画尾部的厚度。金融收益常呈「尖峰肥尾」：大部分时间波动很小，但极端损失比正态分布预测的更频繁。
Skewness measures asymmetry of a distribution; kurtosis measures tail thickness. Financial returns are typically leptokurtic — extreme outcomes occur more often than a normal distribution implies.
s2 = Σ(Ri − R̄)2 / (n − 1) —— 样本方差（无偏，除以 n−1）；标准差 s 即波动率
考点：样本方差除以 n−1 的原因（无偏估计）；CV 的用途；负偏 + 高峰度对投资人的含义（下行风险被低估）。
四、概率分布（模块 6）
- 随机变量分离散与连续；期望（expected value）、方差、协方差与相关系数是基础语言。条件期望（conditional expectation）与无条件期望相对：在获得新信息（如已知经济状态）后更新期望，即贝叶斯更新（Bayesian updating）：后验 ∝ 先验 × 似然。
- 正态分布（normal distribution）：对称、由均值与标准差完全刻画；约 68% / 95% / 99% 的概率落在 ±1 / ±2 / ±3 个标准差内。它是许多检验与模型的基础假设。
- 对数正态分布（lognormal distribution）：变量取自然对数后服从正态分布；价格不能为负，故资产价格常用对数正态建模，而收益率（近似）用正态。
- t 分布（Student's t）：形态似正态但更矮胖、尾部更厚；由自由度（degrees of freedom, df）刻画，df 越大越接近正态；小样本、总体方差未知时用它替代正态。
| 分布 | 典型用途 | 关键特征 |
|---|
| 正态分布 | 收益率、检验统计量（大样本） | 对称；68–95–99 法则；均值=中位数=众数 |
| 对数正态分布 | 资产价格、增长率 | 取对数后正态；取值 ≥ 0，右偏 |
| t 分布 | 小样本推断、方差未知 | 尾部更厚；df→∞ 时趋近正态 |
| 均匀分布 | 简单随机模拟的输入 | 区间内等概率 |
贝叶斯更新：在观察到新数据后，把先验概率与似然（新数据在各假设下的概率）相乘并归一化，得到后验概率；这是 CFA 一级概率部分的思维方式主线。
Bayesian updating combines prior probabilities with the likelihood of new evidence to produce posterior probabilities.
考点：正态 vs 对数正态的分工（收益 vs 价格）；t 分布何时使用；贝叶斯更新的计算；条件期望与协方差的含义。
易错：认为「收益服从对数正态」——错，是价格；认为 t 分布方差恒大于 1——只有 df 足够大（df > 2）时方差才存在且趋近 1，df ≤ 2 时方差不存在。
五、估计与假设检验（模块 7）
- 点估计与区间估计：样本均值是总体均值的点估计；置信区间（confidence interval）= 点估计 ± 临界值 × 标准误。大样本/已知方差用 z，小样本/方差未知用 t（df = n−1）。
- 假设检验流程：陈述原假设 H0 与备择 Ha → 选显著性水平 α（常用 5%）→ 计算检验统计量 → 与临界值比较或看 p 值 → 作出拒绝/不拒绝结论。注意：我们「不拒绝」H0，永远不说「接受」。
- 两类错误：第一类错误（Type I）= 弃真，概率 α；第二类错误（Type II）= 取伪，概率 β；检验功效（power）= 1 − β。α 与 β 此消彼长。
- 常见检验：总体均值的 t 检验（单/双侧）、相关系数的参数检验（t = r·√(n−2)/√(1−r²)）与非参数检验、列联表（contingency table）的独立性检验。2027 特别强调 p-hacking（反复试探直到出显著结果）的危害与研究诚信。
置信区间：在重复抽样意义下，95% 置信区间意味着约 95% 的此类区间会覆盖真实总体参数；显著性水平 α 是犯第一类错误（错误拒绝真原假设）的最大容忍概率。
A 95% confidence interval is constructed so that 95% of such intervals from repeated sampling contain the true parameter; the significance level α is the probability of a Type I error.
CI = x̄ ± tα/2, n−1 · (s / √n) —— 总体均值的置信区间；s/√n 为标准误（standard error）
t = (x̄ − μ0) / (s / √n) —— 单样本 t 统计量；|t| 越大越容易拒绝原假设
考点：给定样本算置信区间并判断能否拒绝「均值为 0」；p 值与 α 的关系（p < α 则拒绝）；第一/第二类错误的定义互换陷阱。
易错：双侧检验的临界值用 tα/2 而非 tα；把「不拒绝 H0」表述为「证明了 H0」；混淆弃真（第一类）与取伪（第二类）。
六、组合的收益与风险（模块 8）
- 组合收益是各资产收益的加权平均，线性可加；组合风险（方差）不是加权平均，而是包含两两协方差项的二次型——这是全模块最重要的观念。
- 相关系数 ρ ∈ [−1, 1]：ρ < 1 即产生分散化效应；ρ = −1 时存在完全对冲组合；协方差 cov(RA,RB) = ρ·σA·σB。
- 有效前沿（efficient frontier）：给定风险下收益最高、或给定收益下风险最低的组合集合；两资产情形下不同权重组合在均值—标准差空间上是一条曲线。最小方差组合（MVP）是曲线最左端。
- 风险度量补充：下行风险（downside risk）、半方差、在险价值（VaR）概念，以及 Sharpe 比率 = 超额收益 / 标准差；安全第一准则（Roy's safety-first）：最大化收益超过最低可接受水平（threshold）的概率。
分散化（diversification）：当资产不完全正相关时，组合方差小于各资产方差的加权平均，未被抵消的剩余风险即为不可分散风险（系统性风险）。
Diversification reduces portfolio variance below the weighted average of individual variances when assets are not perfectly positively correlated; the residual risk is systematic.
E(Rp) = wAE(RA) + wBE(RB)
σp2 = wA2σA2 + wB2σB2 + 2wAwBρσAσB —— 两资产组合方差；第三项是协方差项，分散化的来源
考点：给定权重、波动率与相关系数算组合收益和标准差；相关系数变化对组合风险的影响；Sharpe 比率与安全第一准则的比较。
易错：组合标准差按权重线性加权（错，只有收益是线性的）；写组合方差时漏掉系数 2 或把 ρσAσB 直接当成协方差以外的东西。
七、模拟（模块 9）
- 历史模拟（historical simulation）：直接重放历史收益/冲击的经验分布，不假定分布形状；依赖历史重演假设，样本外结构性变化会失真。
- 自助法（bootstrapping）：从历史样本有放回重抽样构造统计量的抽样分布，用于估计标准误、置信区间；不依赖参数分布假设，实现简单（2027 大纲给出 Excel/Sheets 落地步骤）。
- 蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）：假定随机过程/分布 → 生成大量随机路径 → 得到结果的分布。用于期权定价、风险（VaR）估计、组合情景分析；对路径依赖型问题尤其有力，但「垃圾进垃圾出」——输入分布假设错了结果就错。
- 三种方法对比：历史模拟用真实数据、bootstrap 用重抽样扩充样本、蒙特卡洛用模型生成数据；计算成本递增、对模型假设的依赖也递增。
自助法（bootstrap）通过对原始样本有放回重复抽样来近似统计量的抽样分布；蒙特卡洛模拟则基于假定的随机过程生成大量可能路径，用频率近似概率。
Bootstrapping resamples with replacement from observed data to approximate a sampling distribution; Monte Carlo simulation generates many random paths from an assumed data-generating process.
考点：三种模拟方法的适用场景与假设依赖程度对比；bootstrap 的「有放回」要点；蒙特卡洛路径数量增加对估计误差的影响（收敛）。
易错：把 bootstrap 说成「无放回抽样」；认为蒙特卡洛能消除模型风险——它只是把参数不确定性转成结果分布，分布假设错误照样翻车。
八、一元线性回归（模块 10）
- 模型 Ri = b0 + b1Xi + εi：b1 是斜率（X 每变动一单位 Y 的平均变动），b0 是截距；最小二乘法（OLS）最小化残差平方和。
- 拟合优度：R2 = SSR/SST = 1 − SSE/SST，表示被 X 解释的 Y 变异占比；一元回归中 R2 = r2（相关系数的平方）。R2 高不代表因果。
- 残差（residual）= 实际 Y − 拟合 Ŷ；良好模型的残差应随机分布、无自相关、同方差（homoskedastic）。异方差（heteroskedasticity）使标准误估计有偏、t 检验不可靠。
- 回归系数的假设检验：t = b̂1 / SE(b̂1)，df = n − 2；检验「斜率是否显著异于 0」即判断 X 对 Y 是否有线性解释力。ANOVA 表把总平方和 SST 分解为 SSR + SSE，F 检验检验整体显著性（一元回归下 F = t2）。
R²（决定系数，coefficient of determination）衡量回归方程对因变量变异的解释比例；残差（residual）是观测值与拟合值之差，其模式是诊断模型假设是否成立的工具。
R² is the proportion of variation in the dependent variable explained by the regression; residuals are observed minus fitted values and are used to diagnose model assumptions.
R2 = SSR / SST = 1 − SSE / SST —— SSR 回归平方和、SSE 残差平方和、SST 总平方和，SST = SSR + SSE
t = b̂1 / SE(b̂1)，df = n − 2 —— 斜率的 t 检验；|t| > 临界值则斜率显著异于 0
考点：由平方和算 R²；解释斜率含义；残差图识别异方差/自相关；区分相关与因果。回归大量用于业绩归因（如用市场收益回归个股收益得 beta）。
易错：一元回归斜率检验自由度是 n−2（不是 n−1）；把 R² 高解读为因果关系；忽略 OLS 假设（线性、独立、同方差、残差正态）被违反时的后果。
九、金融数据科学导论（模块 11 · 2027 新增）
- 大数据（Big Data）的维度常概括为 3V/5V：数量（volume）、速度（velocity）、多样性（variety），以及价值（value）、真实性（veracity）；金融中的另类数据（卫星图像、信用卡消费、舆情文本）是典型应用。
- 人工智能与机器学习：机器学习分监督学习（有标签：回归、分类，如预测违约）、无监督学习（无标签：聚类、降维，如客户分群、因子提取）、强化学习（通过奖惩反馈学习策略，如执行算法）。传统计量与 ML 的差别：ML 重预测、可容忍黑箱；传统回归重解释与因果推断。
- 大语言模型（LLM）与生成式 AI在投资管理中的应用：财报与公告的文本分析、研报摘要、代码辅助、客户服务与合规监控；同时带来幻觉（hallucination）、数据泄露、模型偏差等风险，需要人工监督（human-in-the-loop）与治理框架。
- 方法论红线：样本内拟合与样本外验证（train/test 划分、交叉验证）、过拟合（overfitting）防范、回测偏差（data snooping、p-hacking）意识——与模块 7 的研究诚信一脉相承。
监督学习用带标签的历史数据训练预测模型（回归/分类）；无监督学习从无标签数据中发现结构（聚类/降维）；强化学习通过与环境交互、以奖励信号优化策略。
Supervised learning trains on labeled data (regression, classification); unsupervised learning finds structure in unlabeled data (clustering, dimensionality reduction); reinforcement learning optimizes actions via reward feedback.
考点：3V/大数据维度、监督 vs 无监督 vs 强化学习的辨析、LLM 在投研中的应用与风险、过拟合与样本外验证。预计以概念选择题为主，2027 首考注意新增点。
易错：把聚类当成监督学习（无标签就是无监督）；认为 AI 消除了模型风险（实际引入了新的治理与幻觉风险）；混淆「预测精度高」与「策略有经济意义」。
节后快练
1. 某股票期初价 100 元，期末价 110 元，期间收到现金股利 3 元，其持有期收益率为：
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答案：B HPR = (110 − 100 + 3) / 100 = 13%。股利必须计入分子。
2. 连续复利下，与 15% 的有效年利率等价的连续复利率约为：
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答案：B r连续 = ln(1.15) ≈ 13.98%。连续复利率总是低于对应的名义/有效年利率。
3. 某基金近三年收益率分别为 +10%、−20%、+30%，其几何平均年收益率约为：
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答案：B (1.10 × 0.80 × 1.30)^(1/3) − 1 ≈ 4.59%。算术平均 6.67% 高估了实际复合增长。
4. 评价基金经理业绩时，行业标准通常采用时间加权收益率而非货币加权收益率，主要因为：
- 时间加权收益率计算更简单
- 时间加权收益率消除了客户申购赎回时点的影响
- 时间加权收益率总是更高
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答案：B TWR 按现金流切段几何链接，剥离了资金进出时点的影响，反映投资决策本身；MWR（IRR）受现金流时点影响。
5. 年利率 8%、每年复利一次，1,000 元投资 5 年后的终值约为：
- 1,400 元
- 1,469.33 元
- 1,480.00 元
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答案：B FV = 1,000 × 1.08⁵ ≈ 1,469.33 元。
6. 一项投资从第 1 年末起每年末支付 100 元、共 3 年，贴现率 10%，其现值约为：
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答案：A PV = 100 × [1 − 1.10⁻³] / 0.10 ≈ 248.69 元。
7. 下列关于样本方差的说法正确的是：
- 样本方差除以 n，是总体方差的无偏估计
- 样本方差除以 n−1，是总体方差的无偏估计
- 样本方差永远等于总体方差
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答案：B 除以 n−1（自由度修正）才是无偏估计；除以 n 会系统性低估总体方差。
8. 一组年收益为 5%、7%、−3%、10%、1%，其样本标准差约为：
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答案：A 均值 4%；离差平方和 = 1 + 9 + 49 + 36 + 9 = 104（%²）；样本方差 = 104/4 = 26，标准差 = √26 ≈ 5.10%。
9. 某资产收益分布呈负偏且高峰度，这意味着：
- 极端正收益比正态分布预期的更频繁
- 左尾更长、极端损失概率高于正态分布预期
- 分布完全对称
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答案：B 负偏=左尾长（大跌更常见），高峰度（肥尾）=两端极端值都比正态更频繁。金融收益常呈此特征。
10. 关于正态分布与对数正态分布，正确的是：
- 资产价格通常用正态分布建模
- 资产价格通常用对数正态分布建模，收益率近似用正态分布
- 两者没有区别
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答案：B 价格不能为负，对数正态取值 ≥ 0；收益率（尤其短周期）近似正态。这是高频辨析点。
11. 样本均值 2%、样本标准差 5%、样本量 25、t 临界值 2.064，总体均值的 95% 置信区间为：
- 2% ± 2.06%
- −0.06% 至 4.06%
- −0.5% 至 4.5%
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答案：B 标准误 = 5%/√25 = 1%；CI = 2% ± 2.064% ≈ [−0.06%, 4.06%]。区间含 0，故不能拒绝「均值为 0」。A 只是半宽，不是区间。
12. 检验某基金月均超额收益是否为 0：样本均值 4%、标准误 1.6%，检验统计量为：
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答案：A t = (4% − 0) / 1.6% = 2.5，绝对值大于 5% 显著性水平下的常用临界值（约 2），可拒绝原假设。
13. 若在 5% 显著性水平下错误地拒绝了为真的原假设，犯的是：
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答案：A 拒绝真 H0 = 第一类错误，概率为 α；未能拒绝假 H0 = 第二类错误，概率 β。
14. 组合中 60% 投资于 A（期望收益 10%、标准差 20%），40% 投资于 B（期望收益 6%、标准差 12%），相关系数 0.3，组合标准差约为：
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答案：A σp2 = (0.6×20%)² + (0.4×12%)² + 2×0.6×0.4×0.3×20%×12% = 1.44 + 0.2304 + 0.3456 = 2.016（%²），σp ≈ 14.20%。
15. 从原始样本有放回重复抽样以估计统计量抽样分布的方法是：
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答案：B bootstrap 的定义即有放回重抽样；蒙特卡洛基于假定分布生成随机路径；历史模拟直接使用历史数据的经验分布。
16. 某资产三种情景：概率 30% 收益 20%、概率 50% 收益 10%、概率 20% 收益 −5%，其期望收益与标准差分别为：
- 10.0% 与 8.66%
- 11.7% 与 8.66%
- 10.0% 与 7.00%
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答案：A E(R) = 0.3×20% + 0.5×10% + 0.2×(−5%) = 10%；方差 = 0.3×(10)² + 0.5×(0)² + 0.2×(−15)² = 30 + 0 + 45 = 75（%²），标准差 ≈ 8.66%。
17. 一元回归中，回归平方和 SSR = 80，残差平方和 SSE = 20，则 R² 为：
查看答案与解析
答案：B SST = 80 + 20 = 100，R² = SSR/SST = 0.80，即 X 解释了 Y 变异的 80%。
18. 大语言模型（LLM）在投资管理中的应用与风险，2027 课程强调的是：
- LLM 可用于文本分析与研究辅助，但需防范幻觉并保留人工监督
- LLM 已能完全替代分析师做出投资决策
- LLM 与投资管理无关
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答案：A 2027 新增模块介绍 AI/LLM 的应用与词汇，同时强调幻觉、数据泄露、偏差等风险与治理，人工监督不可或缺。
章末小测